WM-Zeit ist Panini-Zeit: 4844 Sticker zum Glück.

Nicht mehr lang und die Fußball-Weltmeisterschaft 2018 in Russland beginnt. Es steigt nicht nur die Vorfreude der Fußballfans in den letzten Wochen vor einem großen Turnier, sondern auch für Stickersammler beginnt damit wieder die Hochsaison. Wie tückisch das Sammeln der beliebten Klebebildchen sein kann, werden wir durch einige Rechnungen verstehen.

Panini hat in diesem Jahr nochmals aufgestockt - der eifrige Sammler benötigt insgesamt 682 verschiedene Bildchen um das Sammelheft komplett zu füllen. Mehr Sticker hatte ein WM Heft bislang noch nie – und auch die Preise wurden nochmal angezogen: für eine Einzeltüte mit 5 Bildchen verlangt Panini in diesem Jahr sportliche 90 Cent (für Multipacks durchschnittlich etwas weniger). Dementsprechend muss ein Sammler also mindestens 122,76 Euro berappen um das komplette Heft zu füllen – falls das Sammeln optimal läuft; und das ist selten der Fall. Durchschnittlich sind weitaus mehr Sticker nötig und zwar genau 4844 Stück (hier sind wir dann schon bei ca. 872 Euro). 4844 Aufkleber klingt enorm, ist aber tatsächlich wahr. Zwar kommt man am Anfang mit dem Füllen des Heftes gut voran und kann sich kaum vorstellen, dass eine solch hohe Zahl an Stickern nötig wäre, aber die Probleme beginnen dann, wenn man die letzten Lücken schließen will. Dazu reicht ein kleines Gedankenspiel: Angenommen, wir haben bereits das komplette Album bis auf einen letzten Sticker komplett, z.B. fehle nur noch das glitzernde DFB Wappen. Wie viele Aufkleber müssen wir dann noch kaufen um das fehlende Wappen endlich zu bekommen?

Um diese Frage zu beantworten müssen wir wissen, welche Aufkleber wie häufig vorkommen. Der Einfachheit halber gehen wir erstmal davon aus, dass alle Aufkleber gleich häufig in den Tüten vorhanden sind. Das wäre insgesamt auch der günstigste Fall.

Das heißt also, wenn wir einen Sticker kaufen, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass fehlende DFB Wappen zu finden, p = 1/682, also nur ca. 0,15 Prozent. Mit anderen Worten sind also durchschnittlich noch 682 Bilder zu kaufen, bis das Wappen wirklich uns gehört. Bei fünf Aufklebern pro Tüte müssen wir also noch ca. 136 Tüten kaufen - für etwa 123 Euro – für ein einziges bestimmtes fehlendes Bild! Natürlich kann man Glück haben und gleich in der ersten Tüte das fehlende Wappen finden. Man kann aber auch Pech haben und das Wappen nicht einmal in der 300-ten Tüte finden. Wir sehen also, dass schon ein letzter fehlender Sticker manchmal sehr schwer zu ergattern ist.

Betrachten wir das Ganze noch einmal andersherum und starten mit einem leeren Album. Der erste Aufkleber ist dann in jedem Fall ein neuer, d.h. mit Wahrscheinlichkeit 1. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der zweite Aufkleber neu ist beträgt dann immerhin noch 681/682 = 99,85%; und durchschnittlich braucht ein Sammler 682/681 = 1,001 weitere Aufkleber, um ein neues zweites Bild zu finden. Beim nächsten Sticker sinkt die Wahrscheinlichkeit einen neuen zu finden weiter, nämlich auf 680/682 und so weiter.

Wir kommen zu folgender Formel für die durchschnittliche Anzahl benötigter Bilder:

682/682 + 682/681 + … + 682/1
= 682*(1/682 + 1/681 + … + 1/3 + 1/2 + 1/1)
= 4844,231

Durchschnittlich bedeutet hier, dass einige Sammler bereits mit weniger Tüten und Aufklebern ihr Album vollständig gefüllt haben werden, während andere erheblich länger brauchen werden. Die Simulation zeigt im Detail, dass 95% der Sammler zwischen 3555 und 6956 Bilder kaufen müssen um ihr Album zu füllen. Im Schnitt sind also 871,96 Euro für das komplette Album zu zahlen!

Für die Mathematiker lässt sich die ganze Rechnung natürlich auch auf allgemeine Szenarien übertragen. Man spricht hier vom sogenannten Coupon Collector’s Problem. Ist eine Sammlung von K Bildern oder Objekten zu sammeln, dann müssen wir die Summe K*(1/1 + 1/2 + ... + 1/K) bestimmen. Sie gibt den Erwartungswert der nötigen zu kaufenden Bilder an. Den Ausdruck

1/1 + 1/2 + ... + 1/K

nennt man auch K-te Partialsumme der Harmonischen Reihe, für die die Näherungsformel gilt:

ln(K) + 0,5772...

Hierbei steht ln(K) für den natürlichen Logarithmus von K und 0,5772... stellt die Euler-Mascheroni-Konstante dar. Angewendet auf das aktuelle Panini-Album errechnet sich die Näherung zur Anzahl benötigter Bilder zu Summe = 4843.7, was sehr nah am oben ausgerechneten theoretischen Wert 4844,2 liegt.

Was ist eine gute Sammelstrategie? Insbesondere das Sammeln der letzten fehlenden Aufkleber macht das ganze Unterfangen langatmig und teuer. Für die letzten fehlenden Sticker macht es deshalb Sinn, sie direkt bei Panini nachzubestellen. Auch das kostet Geld, ist aber deutlich günstiger, als komplett auf gut Glück immer weiter Tüte für Tüte zu kaufen. Panini erlaubt aktuell pro Person das gezielte Bestellen von 50 verschiedenen Bildern. Pro Stück kostet ein Bild 0,25 Euro plus ca. 3 Euro Versandkosten; so bezahlt man für die letzten fehlenden 50 Bilder in etwa nur 15,50 Euro. Eine sinnvolle und preiswerte Strategie wäre also, die ersten 632 Sticker wie üblich zu sammeln und die letzten Bilder gezielt bei Panini zu bestellen. Die durchschnittlichen Gesamtkosten belaufen sich so – wegen der Rechnung 682/682 + 682/681 + ... + 682/51 = 1775.8 – auf demnach 1775.8 Sticker für ca. 319,64 Euro. Dazu kommt dann schließlich noch die finale Bestellung der letzten fehlenden 50 Bilder für 15,50 Euro. Insgesamt bezahlen wir mit unserer Strategie also in etwa 335,14 Euro - und sparen gegenüber der gewöhnlichen „bis zum bitteren Ende“-Sammeln-Strategie über 550 Euro.

Alle Überlegungen stimmen natürlich nur unter der Voraussetzung, dass Panini die Aufkleber gleich häufig in die Tüten steckt. Leider scheint dies nicht immer der Fall zu sein. Zwar gibt es keine offiziellen Statistiken, aber organisierte Sammler berichten in Foren, dass einzelne Teams oder Spieler häufiger auftauchen als andere. Die Folge in unseren Überlegungen ist, dass wir zwar durchschnittlich die gleichen Anzahlen brauchen, die Zufallskomponente beim Sammeln aber noch extremer wird. Haben wir Glück und finden früh einen sehr seltenen Aufkleber, werden wir vermutlich das Album früher vervollständigen können als viele andere. Ergeht es uns aber so, dass wir das seltene DFB Wappen in Glitzeroptik auch nach langem Sammeln noch nicht unser Eigen nennen können, dann bleibt es extrem unwahrscheinlich die Rarität in der nächsten Tüte zu finden und unter Umständen dauert unsere Suche noch sehr, sehr lang an. 

stadalytics Infobox:

• 682 Sticker - das Panini-Heft ist in diesem Jahr zu umfangreich wie noch nie zuvor
• 4844 zufällig gekaufte Sticker wären im Schnitt nötig um das Heft zu füllen
• allein das letzte fehlende Bild würde bei zufälliger Suche über 100 Euro kosten
• mit der richtigen Sammelstrategie lassen sich mehrere hundert Euro sparen